题目

已知数列an满足:an+1-2an=2^n+1,且a1=2 (1)证明{an/2^n}是等差数列 (2)求数列an的

提问时间：2020-11-02

答案

不知道你的2^n+1是不是2^(n+1)
（1）对an+1-2an=2^n+1两边同时除以2^(n+1)得a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=1
因为a1/2=1,所以数列｛an/2^n｝是以1为首项,1为公差的等差数列
那么有an/2^n=1+（n-1）*1=n
所以an=n*2^n
（2）由（1）知sn=1*2+2*2^2+3*2^3+..+n*2^n
2sn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+..+（n-1）2^n+n*2^（n+1）
得 sn-2sn= 1* 2 +（2^2+2^3+2^4..+2^n）-n*2^（n+1）
即 sn= - （2+2^2+2^3+2^4+..+2^n）+n*2^（n+1
sn= -[1*（1-2^n）]+n*2^（n+1）
=-1-2^n+n*2^（n+1）
=（4n-1）*2^（n-1）- 1