题目

设两个二次方程ax平方＋bx＋c=0及cx平方＋bx＋a=0都有两个不等的整数根,求c分之a及c分之b的值

提问时间：2020-11-02

答案

ax²＋bx＋c=0,得x=[-b±√(b²-4ac）]/(2a)=-b/(2a)±√{[b/(2a)]²-c/a}
cx²＋bx＋a=0,得x=[-b±√(b²-4ac）]/(2c)=-b/(2c)±√{[b/(2c)]²-a/c}
若使x为整数,必须{[b/(2a)]²-c/a}和{[b/(2c)]²-a/c}为完全平方数,b/(2a)、 b/(2c)、 c/a和a/c必须均为整数.
c/a和a/c同时为整数,得a/c=c/a=±1,
设b/(2a)=整数m,b/(2c)=整数n,则：
当a/c=1时,b/(2a)]²-c/a=m²-1=完全平方数,--- m无整数解；
b/(2c)]²-a/c=n²-1=完全平方数,--- n无整数解.
当a/c=-1时,b/(2a)]²-c/a=m²+1=完全平方数,得m=0,则b=0；
b/(2c)]²-a/c=n²+1=完全平方数,得n=0,则b=0；
从而求得：a/c=-1,b/c=0.