题目
已知a,b是整数,a2+b2能被3整除,求证:a和b都能被3整除.
提问时间:2020-11-02
答案
证明:用反证法.如果a,b不都能被3整除,那么有如下两种情况:
(1)a,b两数中恰有一个能被3整除,不妨设3|a,3不整除b.令a=3m,b=3n±1(m,n都是整数),于是
a2+b2=9m2+9n2±6n+1
=3(3m2+3n2±2n)+1,
不是3的倍数,矛盾;
(2)a,b两数都不能被3整除.令a=3m±1,b=3n±1,则
a2+b2=(3m±1)2+(3n±1)2,
=9m2±6m+1+9n2±6n+1
=3(3m2+3n2±2m±2n)+2,
不能被3整除,矛盾;
同理分别设a=3m±2,b=3n±1或a=3m,b=3n±2,或a=3m±2,b=3n±2,代入a2+b2会得到相同的结论.
由此可知,a,b都是3的倍数.
(1)a,b两数中恰有一个能被3整除,不妨设3|a,3不整除b.令a=3m,b=3n±1(m,n都是整数),于是
a2+b2=9m2+9n2±6n+1
=3(3m2+3n2±2n)+1,
不是3的倍数,矛盾;
(2)a,b两数都不能被3整除.令a=3m±1,b=3n±1,则
a2+b2=(3m±1)2+(3n±1)2,
=9m2±6m+1+9n2±6n+1
=3(3m2+3n2±2m±2n)+2,
不能被3整除,矛盾;
同理分别设a=3m±2,b=3n±1或a=3m,b=3n±2,或a=3m±2,b=3n±2,代入a2+b2会得到相同的结论.
由此可知,a,b都是3的倍数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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英语翻译
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