题目

（2007•安徽）定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f（x）=0在闭区间[-T，T]上的根的个数记为n，则n可能为（　　）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 5

提问时间：2020-11-02

答案

因为函数是奇函数，所以在闭区间[-T，T]，一定有f（0）=0，
∵T是f（x）的一个正周期，所以f（0+T）=f（0）=0，即f（T）=0，所以f（-T）=-f（T）=0，
∴-T、0、T是f（x）=0的根，若在（0，T）上没有根，则恒有f（x）＞0或f（x）＜0；
不妨设f（x）＞0，则x∈（-T，0）时，f（x）＜0，但又有f（x）=f（x+T）＞0，矛盾．
∴f（x）=0在（0，T）上至少还有一个根．由于f（-

t

2

）=-f（

t

2

）=f（

t

2

），∴f(−

t

2

)＝f(

t

2

)＝0
同理，在（-T，0）上也至少还有一个根，
∴至少有5个根．
故选D