题目

证明f（x）=［√（1 x²） x-1］
证明f（x）=［√（1+x²）+x-1］÷［√（1+x²）+x+1]是奇函数

提问时间：2020-11-02

答案

原题是：求证 f(x)=((√(1+x²))+x-1)/((√(1+x²))+x+1) 是奇函数.
证明：由已知 f(x)的定义域是R.
设 g(x)=(√(1+x²))+x-1 h(x)=(√(1+x²))+x+1
则 f(x)=g(x)/h(x)
因 f(x)+f(-x)=g(x)/h(x)+g(-x)/h(-x)=(g(x)h(-x)+g(-x)h(x))/(h(x)h(-x))
而g(x)h(-x)=((√(1+x²))+x-1)*((√(1+(-x)²))-x+1)=(√(1+x²))^2-(x-1)^2=2x
g(-x)h(x)=(√(1+x²))^2-(x+1)^2=-2x
有f(x)+f(-x)=((2x)+(-2x))/(h(x)h(-x))=0
即 f(-x)=-f(x)
所以 f(x)=((√(1+x²))+x-1)/((√(1+x²))+x+1) 是奇函数.
希望对你有点帮助!