题目

已知数列{an}满足3sn=(n+2)an其中sn为前n项的和a1=2 （1）求数列{an}的通项公式 （2）求数列{1/an}的前n项
已知数列{an}满足3sn=(n+2)an其中sn为前n项的和a1=2
（1）求数列{an}的通项公式
（2）求数列{1/an}的前n项和Tn
（3）是否存在无限集合M使得当n属于M时 总有|Tn-1|

提问时间：2020-11-02

答案

(1) 由 3sn=(n+2)an …… ①
所以,3s(n-1)=(n+1)a(n-1) …… ②
① -② 得：3an=(n+2)an-(n+1)a(n-1),即(n+1)a(n-1)=(n-1)an ,
则有 an/a(n-1)=(n+1)/(n-1)
a(n-1)/a(n-2)=n/(n-2)
…………………………
a3/a2=4/2
a2/a1=3/1
两端同时求积得：an/a1=n(n+1)/2,即an=n(n+1)
(2) 由 1/an= 1/n(n+1)=1/n - 1/(n+1)
1/a(n-1)=1/(n-1)-1/n
…………………………………………
1/a2=1/2-1/3
1/a1=1-1/2
两端同时求和得：1/an+1/a(n-1)+……+1/a2+1/a1=1-1/(n+1),即Tn=n/(n+1)
(3)|存在.Tn-1|=|n/(n+1)-1|=1/(n+1) ,则|Tn-1|<1/10成立,即n>9
所以,取M={10,11,12,13,14,…………} 即可.