题目

求证一大学数理统计的证明题
试证:
∑(xi - x_)^2 = ∑(xi - a)^2 - n(x_ - a)^2,对任意实数成立.
说明：∑是从i=1到n的累加,xi的i是下标,x_的_表示均值符号.
这些符号不太懂该怎么表示,所以了自己想了一些,理解就好了……
写得清楚有加分,我保证!

提问时间：2020-11-02

答案

注意到nx_= ∑xi(这个式子很常用的)
原式左边= ∑(Xi^2 - 2aXi + a^2) - nX_^2 + 2naX_ - na^2
= ∑(Xi^2 - 2aXi + a^2) - X_∑Xi+ 2a∑Xi- na^2
= ∑(Xi^2 - 2aXi) + na^2 - X_∑Xi+ 2a∑Xi- na^2
= ∑Xi^2 - X_∑Xi
= ∑Xi^2 - 2X_∑Xi + X_∑Xi
= ∑Xi^2 - 2∑X_Xi + X_∑X_ (第二项X_为常数,所以可以放进∑
第三项∑x_= nx_= ∑xi)
= ∑(Xi^2 - 2X_Xi + X_^2)
= ∑(xi - x_)^2 = 原式右边