题目
已知函数f(x)=ax-a+1,(a>0且a≠1)恒过定点(3,2),
(1)求实数a;
(2)在(1)的条件下,将函数f(x)的图象向下平移1个单位,再向左平移a个单位后得到函数g(x),设函数g(x)的反函数为h(x),求h(x)的解析式;
(3)对于定义在[1,9]的函数y=h(x),若在其定义域内,不等式[h(x)+2]2≤h(x2)+m+2 恒成立,求m的取值范围.
(1)求实数a;
(2)在(1)的条件下,将函数f(x)的图象向下平移1个单位,再向左平移a个单位后得到函数g(x),设函数g(x)的反函数为h(x),求h(x)的解析式;
(3)对于定义在[1,9]的函数y=h(x),若在其定义域内,不等式[h(x)+2]2≤h(x2)+m+2 恒成立,求m的取值范围.
提问时间:2020-11-02
答案
(1)由f(x)=ax-a+1,知令x=a,则f(a)=2,
所以f(x)恒过定点(a,2),
由题设得a=3;
(2)由(1)知f(x)=3x-3+1,
将f(x)的图象向下平移1个单位,得到m(x)=3x-3,
再向左平移3个单位,得到g(x)=3x,
所以函数g(x)的反函数h(x)=log3x.
(3)[h(x)+2]2≤h(x2)+m+2,即[log3x+2]2≤log3x2+m+2,
所以(log3x)2+2log3x+2-m≤0,
令t=log3x,则由x2∈[1,9]得t∈[0,1],
则不等式化为t2+2t+2-m≤0,
不等式[h(x)+2]2≤h(x2)+m+2 恒成立,等价于t2+2t+2-m≤0恒成立,
因为t2+2t+2-m=(t+1)2+1-m在[0,1]上单调递增,
所以t2+2t+2-m≤12+2×1+2-m=5-m,
所以5-m≤0,解得m≥5.
故实数m的取值范围为:m≥5.
所以f(x)恒过定点(a,2),
由题设得a=3;
(2)由(1)知f(x)=3x-3+1,
将f(x)的图象向下平移1个单位,得到m(x)=3x-3,
再向左平移3个单位,得到g(x)=3x,
所以函数g(x)的反函数h(x)=log3x.
(3)[h(x)+2]2≤h(x2)+m+2,即[log3x+2]2≤log3x2+m+2,
所以(log3x)2+2log3x+2-m≤0,
令t=log3x,则由x2∈[1,9]得t∈[0,1],
则不等式化为t2+2t+2-m≤0,
不等式[h(x)+2]2≤h(x2)+m+2 恒成立,等价于t2+2t+2-m≤0恒成立,
因为t2+2t+2-m=(t+1)2+1-m在[0,1]上单调递增,
所以t2+2t+2-m≤12+2×1+2-m=5-m,
所以5-m≤0,解得m≥5.
故实数m的取值范围为:m≥5.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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