题目
高数二求极限和导数
1.设4/(1-X∧2)*f(x)=d[f(x)]∧2,且f(0)=0,求f(x)
2.lim[ln(1+x+x∧2)+ln(1-x+x∧2)]/xsinx
x→0
1.设4/(1-X∧2)*f(x)=d[f(x)]∧2,且f(0)=0,求f(x)
2.lim[ln(1+x+x∧2)+ln(1-x+x∧2)]/xsinx
x→0
提问时间:2020-11-02
答案
1.∵4f(x)/(1-x²)=d[f²(x)]
==>4f(x)/(1-x²)=2f(x)d[f(x)]
==>f(x){d[f(x)]-2/(1-x²)}=0
∴d[f(x)]-2/(1-x²)=0,或f(x)=0
(1)当d[f(x)]-2/(1-x²)=0时,
有d[f(x)]=2/(1-x²)
==>f(x)=∫2dx/(1-x²)
=∫[1/(1+x)+1/(1-x)]dx
=ln│1+x│+ln│1-x│+C (C是积分常数)
=ln│(1+x)/(1-x)│+C
∵f(0)=0 ==>C=0
∴f(x)=ln│(1+x)/(1-x)│
(2)显然f(x)=0是满足条件f(0)=0的解
综合(1)(2)知,f(x)=ln│(1+x)/(1-x)│,或f(x)=0
2.∵[ln(1+x+x²)+ln(1-x+x²)]/(xsinx)
=ln[(1+x+x²)(1-x+x²)]/(xsinx)
=ln(1+x²+x^4)/(xsinx)
=(x/sinx)*[ln(1+x²+x^4)/x²]
又lim(x->0)(x/sinx)=1/[lim(x->0)(sinx/x)]
=1 (∵lim(x->0)(sinx/x)=1)
lim(x->0)[ln(1+x²+x^4)/x²]
=lim(x->0)ln[(1+x²+x^4)^(1/x²)]
=ln{lim(x->0)[((1+x²+x^4)^(1/(x²+x^4)))(1+x²)]
=ln{lim(x->0)[e^(1+x²)]} (应用重要极限lim(x->0)[(1+x)^(1/x)]=e)
=lne
=1
∴原式=lim(x->0)(x/sinx)*lim(x->0)[ln(1+x²+x^4)/x²]
=1*1
=1
==>4f(x)/(1-x²)=2f(x)d[f(x)]
==>f(x){d[f(x)]-2/(1-x²)}=0
∴d[f(x)]-2/(1-x²)=0,或f(x)=0
(1)当d[f(x)]-2/(1-x²)=0时,
有d[f(x)]=2/(1-x²)
==>f(x)=∫2dx/(1-x²)
=∫[1/(1+x)+1/(1-x)]dx
=ln│1+x│+ln│1-x│+C (C是积分常数)
=ln│(1+x)/(1-x)│+C
∵f(0)=0 ==>C=0
∴f(x)=ln│(1+x)/(1-x)│
(2)显然f(x)=0是满足条件f(0)=0的解
综合(1)(2)知,f(x)=ln│(1+x)/(1-x)│,或f(x)=0
2.∵[ln(1+x+x²)+ln(1-x+x²)]/(xsinx)
=ln[(1+x+x²)(1-x+x²)]/(xsinx)
=ln(1+x²+x^4)/(xsinx)
=(x/sinx)*[ln(1+x²+x^4)/x²]
又lim(x->0)(x/sinx)=1/[lim(x->0)(sinx/x)]
=1 (∵lim(x->0)(sinx/x)=1)
lim(x->0)[ln(1+x²+x^4)/x²]
=lim(x->0)ln[(1+x²+x^4)^(1/x²)]
=ln{lim(x->0)[((1+x²+x^4)^(1/(x²+x^4)))(1+x²)]
=ln{lim(x->0)[e^(1+x²)]} (应用重要极限lim(x->0)[(1+x)^(1/x)]=e)
=lne
=1
∴原式=lim(x->0)(x/sinx)*lim(x->0)[ln(1+x²+x^4)/x²]
=1*1
=1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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