题目

设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>1,b>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且点(1,0）到直线l的距离与点（-1,0）到直线l的距离之和d≥4c/5,求双曲线离心率e的取值范围
下面是我的解体过程：
由题可设直线l的方程为x/a+y/b=1
即bx+ay-ab=0,
点（1,0）到直线l的距离为
d1=|b-ab|/√(a^2+b^2)=|b-ab|/c
点（-1,0）到直线l的距离为
d2=|-b-ab||/√(a^2+b^2)=|-b-ab|/c
d1+d2=|b-ab|/c+|-b-ab|/c≥4c/5
不知道怎么把绝对值去掉

提问时间：2020-11-01

答案

∵a>1>0,b>0
∴ab>b>0
∴∣-b-ab∣=b+ab
∣b-ab∣=-(b-ab)=ab-b
∴∣b-ab∣+∣-b-ab∣=2ab
即2ab/c≥4c/5
∴5ab≥2c2
将b=(c^2-a^2)^(-1/2)
带入上式,可得
(c^2-a^2)^(-1/2)×5a≥2c2
两边同除以5a2,得(e^2-1)^(1/2)≥2e2/5
解得5/2≤e2≤5
又e>1,解得(5/2)^(1/2)≤e≤5^(1/2)