题目

不等式的综合应用题目
是否存在点（m n ） 满足下列条件
1. m+n=2
2.使直线l:mx+my=1与圆O：x^2+y^2=1相交于不同两点A B 且三角形OAB面积最大?
若存在求出M坐标 不存在请证明
是mx+ny=1 不好意思

提问时间：2020-11-01

答案

n=2-m,
直线l:mx+(2-m)y=1与圆O：x^2+y^2=1①相交于不同两点A B 且三角形OAB面积最大,
把x=[1-(2-m)y]/m②代入①,
[1-(2-m)y]^2+m^2y^2=m^2,
(2m^2-4m+4)y^2-2(2-m)y+1-m^2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=(2-m)/(m^2-2m+2),y1y2=(1-m^2)/(2m^2-4m+4),
由②,x1x2=[1-(2-m)y1][1-(2-m)y2]/m^2
=[1-(2-m)(y1+y2)+(2-m)^2y1y2]/m^2,
由三角形OAB面积最大得OA⊥OB,
0=x1x2+y1y2=[1-(2-m)(y1+y2)+(2m^2-4m+4)y1y2]/m^2,
∴1-（2-m)^2/(m^2-2m+2)+1-m^2=0,
∴(m^2-2)(m^2-2m+2)+(2-m)^2=0,
∴m^4-2m^3+2m^2
-2m^2+4m-4
m^2-4m+4=0,
∴m^2(m^2-2m+1)=0,
∴m=0,或1.
∴n=2,或1.
∴M(0,2),或(1,1).