题目

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2且n∈N^*）．
（I）证明数列{a_n+a_n+1}是等比数列；
（II）求a₁+a₂+…a_n（n∈N^*）

提问时间：2020-11-01

答案

（I）证明：因为a_n+1=2a_n+3a_n-1，所以a_n+1+a_n=3（a_n+a_n-1），
所以

an+1+an

an+an−1

=3是常数，
所以数列{a_n+a_n+1}是以a₁+a₂=3为首项，等比为3的等比数列；
（II）由（Ⅰ）得a_n+1+a_n=3ⁿ，…①，
又a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2且n∈N^*）．
得a_n+1-3a_n=-（a_n-3a_n-1），（n≥2且n∈N^*）．
即

an+1−3an

an−3an−1

=-1，常数，
所以数列{a_n+1-3a_n}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，
a_n+1-3a_n=（-1）ⁿ，…②，
解①②得，a_n=

1

4

•3n−

1

4

•(−1)n，
∴a₁+a₂+…a_n=

1

4

（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）-

1

4

[（-1）+（-1）²+（-1）³+…+（-1）ⁿ]
=

1

8

[3n+1+(−1)n+1−2]   （n∈N^*）．