题目

已知f(x)满足axf(x)+bf(x)=2x(a*b≠0,x≠-1),f(1)=1,且方程f（-x）=-2x有两个相等的实根,求函数f（x)的
若x1=2,xn=0.5f(xn-1)(n∈N*,N＞1）求证：数列｛1/xn｝是等差数列

提问时间：2020-11-01

答案

由axf(x)+bf(x)=2x,得f(x)=2x/(ax+b),又f(1)=2/(a+b)=1,得a+b=2,而f(-x)=-2x/(-ax+b)=-2x有两等根,即方程ax^2-(b-1)x=0有两等根.x(ax-b+1)=0,显然两根x1=x2=(b-1)/a=0,且a!=0,得b=1,a=1.于是f(x)=2x/(x+1),(x!=-1).2）因为xn=(1/2)f[x(n-1)]=x(n-1)/[x(n-1)+1],两边取倒数,并注意到(xn)!=0得1/xn=1+1/x(n-1)即得1/xn-1/x(n-1)=1（定值）,所以数列{1/xn}是以公差d=1,首项1/x1=1/2的等差数列,命题得证得.通项为1/xn=1/2+(n-1)*1=n-1/2,可得xn=2/(2n-1)（n为N+）