题目

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+

x

)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

提问时间：2020-10-31

答案

（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩(mx−1)个则y＝256(mx−1)+(2+x)x•mx＝256•mx+mx+2m−256，(0＜x＜m)（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（256x+x）+1024f′（x）=640×（-256x2+12x）=640×x32−292x2∵f′（26）...

（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩(

m

x

−1)个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；
（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入(

m

x

−1)中求出桥墩个数即可．

本题考点：根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．