题目

数列an中,已知a1=2,且对一切正整数n都有a(n+1)=(a1a2a3...an)+1
求证：
1/a1+1/a2+1/a3+1/a4+...+1/an>=1/2+1/4+1/8+...+1/(2^n)
对一切正整数均成立.

提问时间：2020-10-31

答案

这个问题是一个改编题,很不错,证明需要以下两步：
一、由递推关系：知a(n+1)-1=a1a2…an(其中n>=1),所以：a(n)-1=a1a2…a(n-1),其中n>=2(.
所以a(n+1)-1=an*(an-1)(其中n>=2）,实际上,检验知,这个式子对n>=1均成立.
所以两边取倒数,知：1/(a(n+1)-1)=1/(an-1)-1/an,移项知：1/an=1/(an-1)-1/(a(n+1）-1）,对n求和,所以待证不等式左边=1/(a1-1)-1/(a(n+1)-1)=1-1/(a(n+1)-1).而不等式的右边=1-1/2^n.
二、接下来就只要证明：a(n+1)-1>2^n.这个是很容易的.因为a1=2,归纳可知：an>2（对任意的n>=1).所以a(n+1)>2*2…*2+1=2^n+1.
综合两方面,即可得解.
祝学习顺利!