题目

用[a,b]表示自然数a,b的最大公倍数,（a,b）表示他们的最大公约数,若[a,b]=1085-(a,b),那么当a>b时,a-b的最小值是多少?

提问时间：2020-10-31

答案

a=m(a,b),b=n(a,b) [m.n,(a,b)互质]
[a,b]=mn(a,b)=1085-(a,b)
(mn+1)(a,b)=1085=5*7*31
a>b==>m>n==>mn+1>3
(a,b)=1,5,7,31,5*7,5*31,7*31中之一
要使得a-b最小,a,b最为接近->m,n最接近
同时注意到(a,b)为奇数,mn+1为奇数,mn为偶数,
又m,n互质,m,n必然一奇一偶
下面对所有可能的(a,b)进行测算:
1.(a,b)=1
mn=1085-1=1084=271*4
m=271,n=4
a-b=271-4=267
2.(a,b)=5
mn=7*31-1=216=8*3*3*3
m=27,n=8
a-b=(27-8)*5=95
3.(a,b)=7
mn=5*31-1=154=2*7*11
m=14,n=11
a-b=(14-11)*7=21
而以下所有其他(a,b)>=31
a-b=(m-n)(a,b)>=31
所以不可能有比21再小的了
所以a-b的最小值是21