题目

已知直线l：y=-1，定点F（0，1），P是直线x−y+

2

＝0上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为（　　）
A.

π

2

B. π
C. 3π
D. 4π

提问时间：2020-10-31

答案

由题意知，圆心到点F的距离等于半径，圆心到直线l：y=-1的距离也等于半径，
圆心在以点F为焦点、以直线l为准线的抛物线上，此抛物线方程为 x²=4y．
要使圆的面积最小，只有半径（圆心到直线l的距离）最小，因为抛物线上只有点（0，0）到直线l的距离最小为1，
故圆的面积的最小值是 π×1²=π，
故选 B．

由题意知，圆心圆心在以点F为焦点、以直线l为准线的抛物线上，此抛物线方程为 x²=4y，抛物线上只有点（0，0）到直线l的距离最小为1，故圆心为（0，0）时，圆的半径最小．

本题考点：抛物线的定义．

考点点评：本题考查抛物线的定义和标准方程，圆的面积最小的条件是圆的半径最小．