题目

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E，我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）当∠CPD=30°时，求AE的长；
（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-10-31

答案

（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，
∴当∠CPD=30°时，∠AEP=30°．
在Rt△CPD中，CD=AB=4，∠CPD=30°，因此PD=CD•cot30°=4

3

，
∴AP=AD-PD=10-4

3

．
在Rt△APE中，AP=10-4

3

，∠AEP=30°，因此AE=AP•cot30°=10

3

-12．
（2）假设存在这样的点P，
∵Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴

CD

AP

=

PD

AE

=2．
∵CD=AB=4，
∴AP=2，PD=8，
∴存在这样的P点，且DP长为8．

（1）由于∠CPD与∠AEP同为∠APE的余角，因此当∠DPC=30°时，∠AEP=30°．可在Rt△CPD中，根据∠CPD的度数和CD的长，求出PD的长，进而可求出AP的值．同理可在Rt△APE中，求出AE的长．
（2）由于Rt△AEP∽Rt△DPC，当△DPC的周长等于△AEP周长的2倍时，两个三角形的相似比为1：2，即

CD

AP

=

PD

AE

=

PC

PE

=2，根据CD=AB=4，可求出PD的长．

本题考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查的是相似三角形和直角三角形的性质，属中学阶段的常规题．