题目

离散数学题：链是一个偏序集,...
链是一个偏序集,对于任意的l1,l2∈L,或者l1≤l2,或者l2≤l1,试证明每一个链都形成一个分配格.

提问时间：2020-10-31

答案

证明 设a,b∈L,因为是一个链,即任意两个元素均可比较,故有a≤b,或者b≤a,如果是前者,则a∨b= b,a∧b= a,如果是后者,则a∨b= a,a∧b= b,即任意两个元素均存在最小上界和最大下界,故是格.
设a,b,c∈L,分如下两种情况讨论：
⑴如果a≤b,a≤c,则a∨b= b,a∨c = c,（a∨b）∧（a∨c ）= b∧c,
另一方面,由a≤b,a≤c得a≤b∧c,得a∨（b∧c）= b∧c,于是有
（a∨b）∧（a∨c ）= a∨（b∧c）
⑵如果b≤a或c≤a,则a∨b= a或a∨c =a,故由吸收律得（a∨b）∧（a∨c ）= a
另一方面,由b≤a或c≤a得b∧c ≤a,即a∨（b∧c）= a,于是也有
（a∨b）∧（a∨c ）= a∨（b∧c）
分配律成立,故是分配格.