题目

如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM．

（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；
（2）若PA=PB=PC，则△PMC是______三角形；
（3）若PA：PB：PC=1：

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，试判断△PMC的形状，并说明理由．

提问时间：2020-10-31

答案

（1）AP=CM．∵△ABC、△BPM都是等边三角形，∴AB=BC，BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°．∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°．∴∠ABP=∠CBM．∴△ABP≌△CBM．∴AP=CM．（2）等边三角形．（3）△PMC是直角三角形．∵AP=CM，BP...

（1）通过观察应该是相等关系，可通过证三角形APB和BMC全等来实现，这两个三角形中已知的条件有：AB=BC，BP=BM，只要再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现∠ABP和∠MBC都是60°-∠PBC，因此这两个角相等，也就凑成了三角形全等的所有条件．因此可得两三角形全等，也就证明了AP=CM；
（2）根据（1）的结论AP=CM，又有三角形BPM是等边三角形，因此PA=PB=PC可写成PM=PC=CM，也就是说三角形PMC是等边三角形．
（3）根据AP=CM，BP=PM，我们可将题中给出的比例关系式写成CM：PM：PC=1：

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．我们发现这三边正好符合勾股定理的要求．因此三角形PMC是直角三角形．

本题考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．

考点点评：本题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定以及直角三角形的判定．通过全等三角形得出线段相等是本题的解题关键．