题目
如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:EF2=BE2+CF2.
提问时间:2020-10-31
答案
证明:延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,如图所示:
在△EDF和△GDF中
,
∴△EDF≌△GDF(SAS),
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
在△BDE和△CDG中
,
∴△BDE≌△CDG(SAS)
∴BE=CG,∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中,由勾股定理得:
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2
∴EF2=FG2=BE2+CF2.
在△EDF和△GDF中
|
∴△EDF≌△GDF(SAS),
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
在△BDE和△CDG中
|
∴△BDE≌△CDG(SAS)
∴BE=CG,∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中,由勾股定理得:
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2
∴EF2=FG2=BE2+CF2.
延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,由于DF=DF,∠EDF=∠FDG=90°,DG=DE,可得出△EDF≌△GDF,所以EF=FG,同理证出BE=CG,所以要证明EF2=BE2+CF2,只需证明FG2=FC2+CG2即可.
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本题考查勾股定理的应用,关键在于找出相应的直角三角形,两直角边的平方和等于斜边的平方,证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法.
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