题目

已知函数f(x)=msinx+√2cosx(m>0)的最大值为2
,①求f(x)在[0,π]上的单调递减区间,②△ABC中,f(A- 兀／4)+f(B- 兀／4)=4√6 sinAsinB,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,且C=60°,c=3 ,△ABC的面积

提问时间：2020-10-31

答案

已知函数f(x)=msinx+(√2)cosx(m>0)的最大值为2；①求f(x)在[0,π]上的单调递减区间；②△ABC中,f(A-π/4)+f(B-π/4)=4(√6) sinAsinB,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,且C=60°,c=3 ,△ABC的面积.
f(x)=m[sinx+(√2/m)cosx]=m(sinx+tanθcosx)=(m/cosθ)(sinxcosθ+cosxsinθ)
=(m/cosθ)sin(x+θ)＝2sin(x+θ)；
其中tanθ=(√2)/m,m/cosθ=2；故tanθ=sinθ/cosθ=(√2)/(2cosθ),∴sinθ=(√2)/2,θ=π/4.
即f(x)=2sin(x+π/4)
①(x)在[0,π]上的单调递减区间是[π/4,π]；
②f(A-π/4)+f(B-π/4)=2sinA+2sinB=2(sinA+sinB)=4(√6) sinAsinB；
即有4sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=2(√6)[cos(A-B)-cos(A+B)].(1)
其中A＋B=180°-C=180°-60°=120°,代入(1)式得：
2(√3)cos[(A-B)/2]=2(√6)cos(A-B)+√6
即有2(√3)cos[(A-B)/2]=2(√6){2cos²[(A-B)/2-1]}+√6
2(√3)cos[(A-B)/2]=4(√6)cos²[(A-B)/2]-√6
2(√2)cos²[(A-B)/2]-cos[(A-B)/2]-(√2)/2={(√2)cos[(A-B)/2]+1/2}{2cos[(A-B)/2]-√2}=0
由于cos[(A-B)/2]=-1/(2√2)=-(√2)/4(舍去,因为(A-B)/2不可能是钝角),故必有：
cos[(A-B)/2]=√2/2,即(A-B)/2=45°,A-B=90°,又已知A+B=120°,故得A=105°,B=15°；
由b/sinB=c/sinC,得b=csinB/sinC=3sin15°/sin60°=3sin(45°-30°)/sin60°
=3(sin45°cos30°-cos45°sin30°)/sin60°=(3/2)(√2)[(√3-1)/2]/(√3/2)=3(√2)(√3-1)/(2√3)
∴△ABC的面积S=(1/2)bcsinA=(1/2)[3(√2)(√3-1)/(2√3)]×3sin(60°+45°)
=[9√2(√3-1)/(4√3)][(√3/2)(√2/2)+(1/2)(√2/2)]=18/(8√3)=(3/4)√3.