题目

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)．且x∈[0，

π

2

]，求：
（1）

a

•

b

；
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求λ的值．

提问时间：2020-10-31

答案

（1）

a

•

b

=

( a + b )2

=

2+2cos2x

=2cosx（x∈[0，

π

2

]）
（2）由（1）知：f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1=2（cosx-λ）²-2λ²-1
∵x∈[0，

π

2

]
∴cosx∈[0，1]，
当λ∈[0，1]时，f（x）_min=-2λ²-1，而f(x)min=-

3

2

，
所以-2λ2-1=-

3

2

，λ=

1

2

，
当λ＜0时，f(x)min=f(

π

2

)=2λ²-2λ²-1=-1，
而f(x)min=-

3

2

，不符合题意．
当λ＞1时，f（x）_min=f（0）=2-4λ-1=-4λ+1，而f(x)min=-

3

2

所以-4λ+1=-

3

2

，λ=

5

8

这与λ＞1矛盾
综上述λ的值为

1

2

．

（1）利用向量的数量积的运算，根据两向量的坐标求得

a

•

b

，并利用二倍角的余弦化简整理．
（2）根据（1）和题设向量的坐标求得函数f（x）的解析式，利用二倍角的余弦化简整理，然后利用x的范围确定cosx的范围，看λ∈[0，1]，λ＞1和λ＜-1时根据二次函数的性质可确定函数的最小值，求得λ．

本题考点：三角函数的最值；向量的模；平面向量数量积的运算．

考点点评：本题主要考查了三角函数的最值，平面向量的基本性质和基本运算．考查了学生对三角函数和向量的知识的综合运用．