题目

用函数单调性定义证明f(x)=2x²-4x在（1,＋∞）上单调递增

提问时间：2020-10-31

答案

在（1,＋∞）上任取x1,x2使x1＞x2,则
f（x1）-f（x2）=2x1^2-4x1-2x2^2+4x2
=2(x1^2-x2^2)-4(x1-x2)
=2[(x1+x2)(x1-x2)]-4(x1-x2)
=2[(x1+x2)(x1-x2)-2(x1-x2)]
=2[(x1-x2)(x1+x2-2)]
∵x1＞x2,∴x1-x2＞0
∵x1,x2∈（1,＋∞）,∴x1＞x2＞1,∴x1+x2＞2,∴x1+x2-2＞0
∴[(x1-x2)(x1+x2-2)]＞0,∴2[(x1-x2)(x1+x2-2)]＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0,f(x1)>f(x2)
∴f(x)=2x²-4x在（1,＋∞）上是增函数
∴f(x)=2x²-4x在（1,＋∞）上单调递增