题目

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量

x

=（2a+c，b），

y

=（cosB，cosC），且

x

•

y

=0．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=

3

，求a+c的最大值．

提问时间：2020-10-31

答案

（1）∵x=（2a+c，b），y=（cosB，cosC），x•y=0，∴（2a+c）cosB+bcosC=0，利用正弦定理化简得：（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，整理得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB+sin（B+C）=2sinAcosB+sinA=sinA...

（1）由两向量的坐标及两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简后，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，根据A与B都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的值；
（2）由b与cosB的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式即可求出a+c的最大值．

本题考点：正弦定理；余弦定理的应用．

考点点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．