题目

已知二次函数y=ax2+2x+3图象与x轴交于点A,点B(点B在X轴的正半轴上),与Y轴交于点C,其顶点为D,直线DC的函数
的函数关系式为y=kx+3,又tan∠OBC=1.（1）求a、k的值.（2）探究：在该二次函数的图象上是否存在点P（点P与B、C不重合）,使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形?若存在,求出P的坐标；若不存在,请说明理由.

提问时间：2020-10-30

答案

(1)∵y=ax²+2x+3
∴C﹙0,3﹚
又∵tan∠OBC=1
∴OB=OC=3
∴B﹙3,0﹚
又∵点B在y=ax²+2x+3上
∴a=-1
∴y=-x²+2x+3
=-(x-1)²+4
∴A(-1,0),D(1,4)
又∵点D在y=kx+3上
∴k=1
(2)存在.∵OB=3,OC=3,由勾股定理得：
BC=3√2
当点P在二次函数顶点上时,点P与点D重合
∵CD=√2,BD=2√5
∴此时△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形