题目
已知函数f(x)=a(x2-1)-xlnx.
(I)当a=
时,求函数f(x)
(I)当a=
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2 |
提问时间:2020-10-30
答案
(Ⅰ)当a=
时,f(x)=
(x2−1)−xlnx,所以f′(x)=x-lnx-1.
函数f(x)的定义域为(0,+∞).
设g(x)=x-lnx-1,则g′(x)=1-
.
令g′(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,函数g(x)是减函数;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)是增函数.
函数g(x)的最小值为g(1)=0.
所以g(x)=f′(x)≥0(仅当x=1时取等号),f(x)在(0,+∞)是增函数.
(Ⅱ)由函数f(x)=a(x2-1)-xlnx,则f′(x)=2ax-lnx-1.
(1)若a≥
,则由(Ⅰ)知,f′(x)=(2a-1)x+(x-lnx-1)>0,f(x)是增函数,
此时f(x)≥f(1)=0,不等式恒成立.
(2)若0<a<
,设h(x)=2ax-lnx-1,h′(x)=2a-
.
当x∈(1,
)时,h′(x)<0,函数h(x)是减函数.
则f′(x)=h(x)<h(1)=2a-1<0,f(x)在(1,
)是减函数.
这时f(x)<f(1)=0,不等式不成立.
(3)若a≤0时,则当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)是减函数,
此时f(x)<f(1)=0,不等式不成立.
综上所述,a的取值范围是[
,+∞).
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函数f(x)的定义域为(0,+∞).
设g(x)=x-lnx-1,则g′(x)=1-
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x |
令g′(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,函数g(x)是减函数;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)是增函数.
函数g(x)的最小值为g(1)=0.
所以g(x)=f′(x)≥0(仅当x=1时取等号),f(x)在(0,+∞)是增函数.
(Ⅱ)由函数f(x)=a(x2-1)-xlnx,则f′(x)=2ax-lnx-1.
(1)若a≥
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此时f(x)≥f(1)=0,不等式恒成立.
(2)若0<a<
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x |
当x∈(1,
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2a |
则f′(x)=h(x)<h(1)=2a-1<0,f(x)在(1,
1 |
2a |
这时f(x)<f(1)=0,不等式不成立.
(3)若a≤0时,则当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)是减函数,
此时f(x)<f(1)=0,不等式不成立.
综上所述,a的取值范围是[
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举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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