题目

已知抛物线C:y平方=2px(p大于0)的准线为L,过M（1,0）且斜率为根号3的直线与L相交于点A,与C的一个交点为B．若向量AM＝向量MB,则L的方程是?

提问时间：2020-10-30

答案

因为直线AB斜率为根号3（倾斜角为60度）,所以A在第三象限,
因为向量AM＝向量MB,所以B在线段AM延长线上,B在第一象限,且|AM|=|MB|,
过B作BD垂直x轴于D,设抛物线准线与x轴交于点E,则三角形MEA全等于三角形MDB,
|ME|=|MD|,准线L方程为：x=-p/2,E(-p/2,0),M(1,0),|MD|=|ME|=1+p/2,D(|OD|,0)=(2+p/2,0),
tan角BMD=根号3,|BD|=|MD|tan角BMD=(根号3)(1+p/2),B(2+p/2,(根号3)(1+p/2))在抛物线C:y^2=2px上,
把(2+p/2,(根号3)(1+p/2))代入y^2=2px得,3(1+p/2)^2=2p(2+p/2),即p^2+4p-12=0,0x=-1