题目

已知正方形ABCD的中心在原点,四个顶点都在函数f（x）=ax^3+bx（a＞0）图像上.若正方形
已知正方形ABCD的中心在原点,四个顶点都在函数f（x）=ax^3+bx（a＞0）图像上.
若正方形ABCD唯一确定,试求出b的值.

提问时间：2020-10-30

答案

ABCD的中心在原点,则其四个顶点必然分布在四个象限（含数轴）上.
设正方形在第一象限的顶点坐标为（m,n）,则在第二、三、四象限的顶点的坐标分别为（-n,m）、（-m,-n）、(n,-m).将（m,n）和（-n,m）分别代入f（x）=ax^3+bx中,得到方程组：
n=am^3+bm -----(1)
m=-an^3-bn ----(2)
将(1)×n^3 + (2)×m^3得：n^4+m^4=bmn^3-bnm^3.
从而求出：b=(m^4+n^4)/(mn^3-nm^3).
虽然没有算出最终结果,但接着配方应用基本不等式就可以求出b=-2乘以根号2