题目
如图,把一张长10cm,宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)要使长方体盒子的底面积为48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少;
(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由;
(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.
(1)要使长方体盒子的底面积为48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少;
(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由;
(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.
提问时间:2020-10-30
答案
(1)设正方形的边长为xcm,则(10-2x)(8-2x)=48.
即x2-9x+8=0.
解得x1=8(不合题意,舍去),x2=1.
∴剪去的正方形的边长为1cm.
(2)有侧面积最大的情况.
设正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm2,
则y与x的函数关系式为:
y=2(10-2x)x+2(8-2x)x.
即y=-8x2+36x.(0<x<4)
改写为y=-8(x-
)2+
.
∴当x=2.25时,y最大=40.5.
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时,长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2.
(3)有侧面积最大的情况.
设正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm2.
若按图1所示的方法剪折,则y与x的函数关系式为:
y=2(8-2x)x+2•
•x.
即y=-6(x-
)2+
.
∴当x=
时,y最大=
.
若按图2所示的方法剪折,则y与x的函数关系式为:
y=2(10-2x)x+2•
•x.
即y=-6(x-
)2+
.
∴当x=
时,y最大=
.
比较以上两种剪折方法可以看出,按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大,即当剪去的正方形的边长为
cm时,折成的有盖长方体盒子的侧面积最大,最大面积为
cm2.
即x2-9x+8=0.
解得x1=8(不合题意,舍去),x2=1.
∴剪去的正方形的边长为1cm.
(2)有侧面积最大的情况.
设正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm2,
则y与x的函数关系式为:
y=2(10-2x)x+2(8-2x)x.
即y=-8x2+36x.(0<x<4)
改写为y=-8(x-
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∴当x=2.25时,y最大=40.5.
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时,长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2.
(3)有侧面积最大的情况.
设正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm2.
若按图1所示的方法剪折,则y与x的函数关系式为:
y=2(8-2x)x+2•
10−2x |
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即y=-6(x-
13 |
6 |
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∴当x=
13 |
6 |
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若按图2所示的方法剪折,则y与x的函数关系式为:
y=2(10-2x)x+2•
8−2x |
2 |
即y=-6(x-
7 |
3 |
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∴当x=
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3 |
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比较以上两种剪折方法可以看出,按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大,即当剪去的正方形的边长为
7 |
3 |
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3 |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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