题目

k取怎样的整数值时,方程(k+1)sinx^2-4cosx+3k-5=0有实数解,并求出此时的解

提问时间：2020-10-30

答案

(k+1)sin²x-4cosx+3k-5=0,
K=-( sin²x-4cosx-5)/( sin²x+3)
K=-( 1-cos²x-4cosx-5)/( 1-cos²x +3)
K=( cos²x+4cosx+4)/ ( 4-cos²x)
K=(cosx+2)/[(2+cosx) (2-cosx)]
K=(cosx+2)/ (2-cosx)
K=(cosx-2+4)/ (2-cosx)
K=-1+4/ (2-cosx)
-1≤cosx≤1,1≤2-cosx≤3
1/3≤-1+4/ (2-cosx) ≤ 3,
所以1/3≤k≤ 3.
已知k∈Z,所以k=1,2,3.
K=1时,方程可化为-2 cosx(cosx+2)=0, cosx=0,
解得x=kπ+π/2, k∈Z.
k=2时,方程可化为(cosx+2)( 3cosx-2)=0, cosx=2/3,
解得x= 2kπ±arccos2/3, k∈Z.
k=3时,方程可化为(cosx+2) (cosx-1)=0, cosx=1,
解得x= 2kπ, k∈Z.