题目

两道函数周期问题怎么求证?
若f(x)是奇函数,且等式f(a+x)=f(a-x)对一切x∈R均成立,证明函数f(x)的周期是4a
若f(x)关于（a,y0）和x=b都对称,求证f(x)的周期是4（b-a）

提问时间：2020-10-30

答案

1、已知f(a+x)=f(a-x),因为f(x)是奇函数,所以f(a-x)= -f[-(a-x)],第二式代入第一式得
f(a+x)= -f[-(a-x)],变形得
f(x+a)= -f(x-a) ………………①
仿照①式的形式有
f(x+2a)= f[(x+a)+a]= -f[(x+a)-a]= -f(x) ………………②
仿照②式的形式有
f(x+4a)= f[(x+2a)+2a]= -f(x+2a),将②式代入得
f(x+4a)= f(x)
所以函数f(x)的周期是4a
2、因为f(x)关于点（a,y0）对称,所以f(a+x)= -f(a-x)
因为f(x)关于x=b对称,所以f(b+x)=f(b-x)
将第一式的x换成x-b得f(a+x-b)= -f(a+b-x)
将第二式的x换成x-a得f(b+x-a)=f(a+b-x)
两式相加得
f[x+(b-a)]= - f[x-(b-a)] ………………①
仿照①式的形式有
f[x+2(b-a)]= f[x+(b-a)+ (b-a)]= -f[x+(b-a)- (b-a)]= -f(x) ………………②
仿照②式的形式有
f[x+4(b-a)]= f[x+2(b-a)+2(b-a)]= -f[x+2(b-a)],将②式代入得
f[x+4(b-a)]= f(x)
所以函数f(x)的周期是4(b-a)