题目

已知等比数列{a_n}的各项都是正数，S_n=80，S_2n=6560，且在前n项中，最大的项为54，求n的值．

提问时间：2020-10-30

答案

由已知a_n＞0，得q＞0，若q=1，则有S_n=na₁=80，S_2n=2na₁=160与S_2n=6560矛盾，故q≠1．
∵

a1(1−qn) 1−q ＝80     (1)  a1(1−q2n) 1−q ＝6560  (2)

，由（2）÷（1）得qⁿ=81（3）．
∴q＞1，此数列为一递增数列，在前n项中，最大一项是a_n，即a_n=54．
又a_n=a₁q^n-1=

a1

q

qⁿ=54，且qⁿ=81，∴a₁=

54

81

q．即a₁=

2

3

q．
将a₁=

2

3

q代入（1）得

2

3

q（1-qⁿ）=80（1-q），即

2

3

q（1-81）=80（1-q），解得q=3．又qⁿ=81，∴n=4．

先根据S_n和S_2n的值判断q≠1，再利用求和公式根据S_n和S_2n的值求出q^n₌₈₁进而推断q＞1，断定数列为递增数列，即最大一项是a_n，进而求出a₁和q的关系式代入S_n=80即可求出n．

本题考点：等比数列的前n项和．

考点点评：本题主要考查等比数列的通项公式和求和公式的应用．解题的关键是通过q判断数列是递增还是递减，还是先增后减或先减后增．