题目

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S₂=3，且点（2ⁿ，S_n）在直线y=kx-1 上．
（1）求k的值，并证明{a_n}是等比数列；
（2）记T_n为数列{S_n}的前n项和，求使T_N＞2010成立的n最小值．

提问时间：2020-10-30

答案

（1）由题意得Sn＝k•2n−1，
∵S₂=3，∴3=k•2²-1，解得k=1．
∴S_n=2ⁿ-1，
∴a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1．
∴

an

an−1

＝

2n

2n−1

＝2，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列；
（2）∵Tn＝2+22+…+2n−n=

2(2n−1)

2−1

−n=2ⁿ⁺¹-n-2，
由2ⁿ⁺¹-n-2＞2010，得n≥10．
∴使T_N＞2010成立的n最小值是10．