题目

证明：若x^2+y^2+ax+by+c=0(圆),其中a,b,c为定数（a^2+b^2-4c>0）,{[1+(dy/dx)^2]^3/2}/[(d^2y)/(d^2x)]定数.

提问时间：2020-10-30

答案

你这个写的太那个了点吧,不过我还总算看明白{[1+(dy/dx)^2]^3/2}/[(d^2y)/(d^2x)]表示的其实就是曲线的在直接坐标系下的曲率公式的倒数,圆的曲率是一个定值,证明如下：
x^2+y^2+ax+by+c=0化为参数方程,其中R² = a²+b²-4c
x=-a/2+Rsint
y=-b/2+Rcost
所以x' = Rcost,x'' = -Rsint
y'=-Rsint,y''=-Rcost
在参数方程下,曲率的表达式可以又写成k=(x'y''-x''y') / √(x'²+y'²)³ = 1/R
所以{[1+(dy/dx)^2]^3/2}/[(d^2y)/(d^2x)] = R
这个直接对方程计算导数也是可以的,但是计算比较复杂.