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题目
在直角坐标系xOy中,x轴上的动点M(x,0)到定点P(5,5)、Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,那么,当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标为______.

提问时间:2020-10-30

答案
如图,作Q关于x轴的对称点Q',连接PQ',
根据轴对称图形的性质可知,QM=Q′M,
于是QM+MP=Q′M+MP=Q′P.
根据两点之间线段最短可知,M为所求点.
∴设解析式为y=kx+b,
∵点Q与点Q′关于x轴对称,
∴Q′(2,-1)
把P(5,5)、Q′(2,-1)分别代入解析式得,
5k+b=5
2k+b=−1

解得,
k=2
b=−5

其解析式为y=2x-5.
当y=0时,x=
5
2

∴M点坐标为(
5
2
,0).
故答案为:
5
2
Q(2,1)关于x轴的对称点为Q'(2,-1),直线PQ'与x轴交点即为M点,求出直线PQ'的解析式即可求出点M的坐标.

轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.

此题考查了轴对称--最短路径问题,作出最短路径图并根据待定系数法求出函数解析式是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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