题目

对于任意正整数n，猜想2^n-1与（n+1）²的大小关系，并给出证明．

提问时间：2020-10-30

答案

当n=1时2^1-1＜（1+1）² ，
当n=2时，2^2-1=2＜（2+1）² ，
当n=3时，2^3-1=4＜（3+1）² ，
当n=4时2^4-1＜（4+1）² ，
当n=5时2^5-1＜（5+1）² ，
当n=6时  2^6-1＜（6+1）²，
当n=7时  2^7-1=（7+1）² …（2分）
n=8，9，10，…时，2^n-1＞（n+1）²，
猜想n≥8时，2^n-1＞（n+1）²． …（4分）
证明：①当n=8时，由以上知结论成立；
②假设当n=k（k＞8）时，2^k-1＞（k+1）²，
则n=k+1时，2^（k+1）-1=2^1+（k+1）=2•2^k-1＞2（k+1）²．而2（k+1）²-（k+2）²=k²-2，∵k≥9∴k²-2＞0，
所以2（k+1）²-（k+2）²＞0，
即2（k+1）²＞（k+2）²，即2^（k+1）-1＞（k+2）²，即n=k+1时，结论成立，
由①，②知，对任意n≥8，结论成立．