题目

已知等差数列{a_n}中，d＞0，a₃a₇=-16，a₂+a₈=0，设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．求：
（I）{a_n}的通项公式a_n；
（II）求T_n．

提问时间：2020-10-30

答案

（1）由等差数列的性质可得a₂+a₈=a₃+a₇=0，
∵a₃a₇=-16，且d＞0（2分）
∴a₃=-4，a₇=4，4d=a₇-a₃=8
∴d=2
∴a_n=a₃+（n-3）d=-4+2（n-3）=2n-10．…（6分）
（II）当1≤n≤5时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…a_n）=-

−8+2n−10

2

•n＝9n−n2．…（9分）
当n≥6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…a₅）+a₆+a₇+…+a_n
=-2（a₁+a₂+…+a₅）+a₁+a₂+…+a_n
=−

−8+0

2

×5+

−8+2n−10

2

•n＝n2−9n+40
综上：T_n=

9n−n2(1≤n≤5) n2−9n+40(n≥6)

．…（13分）

（1）由等差数列的性质可得a₂+a₈=a₃+a₇=0，结合a₃a₇=-16，且d＞0可求a₃，a₇，进而可求公差d，等差数列的通项
（II）结合（I）的通项，可知需要对n分类讨论：当1≤n≤15时T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…a_n）
当n≥6时T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…a₅）+a₆+a₇+…+a_n=-2（a₁+a₂+…+a₅）+a₁+a₂+…+a_n，从而可求

本题考点：数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评：本题主要考查了等差数列 的性质的应用，等差数列的通项公式a_n=a_m+（n-m）d及d＝

an−am

n−m

、等差数列求和公式的应用，属于综合性试题