题目

如图，在△ABC中，AB=AC=

5

，BC=2．在BC边上有100个不同的点P₁，P₂，P₃，¨¨¨¨，P₁₀₀，过这100个点分别作△ABC的内接矩形P₁E₁F₁G₁，P₂E₂F₂G₂，¨¨¨¨，P₁₀₀E₁₀₀F₁₀₀G₁₀₀，设每个矩形的周长分别为L₁，L₂，¨¨¨¨，L₁₀₀，则L₁+L₂+¨¨¨¨+L₁₀₀=______．

提问时间：2020-10-30

答案

过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=

5

，BC=2．
∴BH=

1

2

BC=1，
∴AH=

AB2−BH2

=2，
∵四边形P₁E₁F₁G₁是矩形，
∴E₁P₁=F₁G₁，E₁F₁=P₁G₁，E₁P₁⊥BC，
∴E₁P₁∥AH，
∴

E1P1

AH

＝

BP1

BH

，
即

E1P1

2

＝

BP1

1

，
∴E₁P₁=2BP₁，
同理：F₁G₁=2CG₁，
∴矩形P₁E₁F₁G₁的周长为：E₁P₁+E₁F₁+P₁G₁+F₁G₁=2P₁G₁+2BP₁+2CG₁=2（P₁G₁+BP₁+CG₁）=2BC=4，
∴L₁=4，
同理：L₂=L₃=…=L₁₀₀=4，
∴L₁+L₂+¨¨¨¨+L₁₀₀=4×100=400．
故答案为：400．

首先过点A作AH⊥BC于H，由AB=AC=

5

，BC=2，可求得BH的长，由勾股定理可求得AH的长，又由四边形P₁E₁F₁G₁是矩形，可得E₁P₁=F₁G₁，E₁F₁=P₁G₁，E₁P₁⊥BC，然后由平行线分线段成比例定理，即可求得E₁P₁=2BP₁，F₁G₁=2CG₁，则可求得L₁的值，同理可求得L₂，¨¨¨¨，L₁₀₀的值，继而求得答案．

本题考点：相似三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了矩形的性质、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．