题目

已知函数f（x）=x²+ax，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
（1）求实数a的值；
（2）利用单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

提问时间：2020-10-30

答案

（1）由f（1+x）=f（1-x）得，
（1+x）²+a（1+x）=（1-x）²+a（1-x），
整理得：（a+2）x=0，
由于对任意的x都成立，∴a=-2．
（2）根据（1）可知f（x）=x²-2x，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
设x₁＞x₂≥1，则f（x₁）-f（x₂）=（x₁²-2x₁）-（x₂²-2x₂）
=（x₁²-x₂²）-2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＞x₂≥1，则x₁-x₂＞0，且x₁+x₂-2＞2-2=0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．