题目

已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点A1在底面ABC上的射影M为BC的中点,且点M到侧面AA1B
已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点A1在底面ABC上的
射影M为BC的中点,且点M到侧面AA1B1B的距离为 .
（Ⅰ）求二面角A1—AB—C的大小；
（Ⅱ）求侧棱AA1与底面ABC所成角的正切值；
（Ⅲ）求直线B1B与平面ACC1A1的距离.
M到侧面AA1B1B的距离为（四分之根号3）a。

提问时间：2020-10-29

答案

过M向AB作垂线,交AB于N.
由于M是A1的射影,A1M垂直于面ABC,所以A1M垂直于MN.
在直角三角形A1MN中,A1N边上的高（设为h）即为M到侧面AA1B1B的距离,即（四分之根号3）a；角A1NM即为二面角A1—AB—C的大小.
由于AB=AC=a,∠BAC=90°,可算出BC＝（根号2）a,AM＝（二分之根号2）a,MN＝1/2a.
sin角A1NM＝h/MN＝（四分之根号3）a/（a/2）＝根号3/2
（1）双面角A1—AB—C的大小为60度
因为A1M垂直于面ABC,所以面A1AM垂直于面ABC,
所以侧棱AA1与底面ABC所成角即为角A1AM.
tg角A1AM＝A1M/AM
为求出A1M和AM,先将sin角A1NM换算一下.cos角A1NM＝1/2
因为MN＝1/2a, 计算出A1N＝a,A1M＝（二分之根号3）a
tg角A1AM＝A1M/AM＝（二分之根号3）a/（二分之根号2）a＝根号3/根号2
（2）侧棱AA1与底面ABC所成角的正切值为根号下（3/2）.
直线B1B与平面ACC1A1的距离即为点B到平面ACC1A1的距离.
因为面ACC1A1垂直于面A1ABB1,从B向AA1作垂线BF,垂线长度BF即为点B到平面ACC1A1的距离.
由A1N＝a,AN＝1/2a可得：tg角A1AN＝A1N/AN＝2,sin角A1AN＝2/根号5
BF＝AB*sin角A1AN＝2a/根号5
（3）直线B1B与平面ACC1A1的距离为2a/根号5