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题目
对于每项均是正整数的数列A:a1,a2,…,an,定义变换T1,T1将数列A变换成数列T1(A):n,a1-1,a2-1,…,an-1.
对于每项均是非负整数的数列B:b1,b2,…,bm,定义变换T2,T2将数列B各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列T2(B).
又定义S(B)=2(b1+2b2+…+mbm)+b12+b22+…+bm2
设A0是每项均为正整数的有穷数列,令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,…).
(Ⅰ)如果数列A0为2,6,4,8,写出数列A1,A2
(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(T1(A))=S(A);
(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0,存在正整数K,当k≥K时,S(Ak+1)=S(Ak).

提问时间:2020-10-29

答案
(Ⅰ)A0:2,6,4,8,T1(A0):4,1,5,7,3,A1:7,5,4,3,1;T1(A1):7,5,4,3,1,T1(A1):5,6,3,4,2,0,∴A2:6,5,4,3,2.
(Ⅱ)证明:设每项均是正整数的有穷数列A为a1,a2,…,an
则T1(A)为n,a1-1,a2-1,…,an-1,
从而S(T1(A))=2[n+2(a1-1)+3(a2-1)+…+(n+1)(an-1)]+n2+(a1-1)2+(a2-1)2+…+(an-1)2
又S(A)=2(a1+2a2+…+nan)+a12+a22+…+an2
所以S(T1(A))-S(A)=2[n-2-3-…-(n+1)]+2(a1+a2+…+an)+n2-2(a1+a2+…+an)+n=-n(n+1)+n2+n=0,
故S(T1(A))=S(A).
(Ⅲ)证明:设A是每项均为非负整数的数列a1,a2,an
当存在1≤i<j≤n,使得ai≤aj时,交换数列A的第i项与第j项得到数列B,
则S(B)-S(A)=2(iaj+jai-iai-jaj)=2(i-j)(aj-ai)≤0.
当存在1≤m<n,使得am+1=am+2═an=0时,若记数列a1,a2,am为C,
则S(C)=S(A).
所以S(T2(A))≤S(A).
从而对于任意给定的数列A0,由Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,)
可知S(Ak+1)≤S(T1(Ak)).
又由(Ⅱ)可知S(T1(Ak))=S(Ak),所以S(Ak+1)≤S(Ak).
即对于k∈N,要么有S(Ak+1)=S(Ak),要么有S(Ak+1)≤S(Ak)-1.
因为S(Ak)是大于2的整数,所以经过有限步后,必有S(Ak)=S(Ak+1)=S(Ak+2)=0.
即存在正整数K,当k≥K时,S(Ak+1)=S(A).
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