题目

已知实数m≠0，函数f(x)=

3x-m，(x≤2) -x-2m，(x＞2)

，若f（2-m）=f（2+m），则实数m的值为 ___ ．

提问时间：2020-10-29

答案

∵f(x)=

3x-m，(x≤2) -x-2m，(x＞2)

，
∴f（x）在x≤2和x＞2时，函数均为一次函数，
∵f（2-m）=f（2+m），
∴2-m和2+m分别在x≤2和x＞2两段上各一个，
①当2-m≤2，且2+m＞2，即m＞0时，
∴f（2-m）=3（2-m）-m=6-4m，f（2+m）=-（2+m）-2m=-2-3m，
∵f（2-m）=f（2+m），
∴6-4m=-2-3m，
∴m=8，；
②当2-m＞2，且2+m≤2，即m＜0时，
∴f（2-m）=-（2-m）-2m=-2-m，f（2+m）=3（2+m）-m=6+2m，
∵f（2-m）=f（2+m），
∴-2-m=6+2m，
∴m=-

8

3

．
综合①②，可得实数m的值为-

8

3

和8．
故答案为：-

8

3

和8．

根据分段函数的解析式，可以确定2+m和2-m应该在两段函数上各一个，对2+m和2-m分类讨论，确定相应的解析式，列出方程，求解即可得到实数m的值．

本题考点：函数与方程的综合运用；函数的零点．

考点点评：本题考查了分段函数的解析式及其应用，考查了分段函数的取值问题，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．同时考查了函数的零点与方程根的关系．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．