题目
若 a、b、c 为任意的三个整数,证明 abc(a3 -b3 )(b3 -c3 )(c3 -a3 ) 能被7整除
提问时间:2020-10-29
答案
首先,a,b,c如果是7的倍数,那么显然原题成立.那么如果都不是7的倍数呢?下面的推理需要一点小知识:
首先要知道一个数被7除的余数情况:0-6,共6种.
但是一个整数的3次方被7除的余数情况只有三种,0,1,6(不信你自己算算看:本来余1,2,4的数,3次方以后,都余1,本来余3,5,6的数,3次方以后,都余6,)
也就是说a3,b3,c3里面只有两种情况1,6,(当然不能是0,因为我们已经假设他们都不是7的倍数了)那么a3,b3,c3里面至少有两个数对于7的余数是相同的.
那么(a3 -b3 )(b3 -c3 )(c3 -a3 ) 必然能被7整除,原题得证.
首先要知道一个数被7除的余数情况:0-6,共6种.
但是一个整数的3次方被7除的余数情况只有三种,0,1,6(不信你自己算算看:本来余1,2,4的数,3次方以后,都余1,本来余3,5,6的数,3次方以后,都余6,)
也就是说a3,b3,c3里面只有两种情况1,6,(当然不能是0,因为我们已经假设他们都不是7的倍数了)那么a3,b3,c3里面至少有两个数对于7的余数是相同的.
那么(a3 -b3 )(b3 -c3 )(c3 -a3 ) 必然能被7整除,原题得证.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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