题目

已知

1

3

≤a≤1，若f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的函数表达式．

提问时间：2020-10-29

答案

f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=

1

a

，
∵

1

3

≤a≤1，∴1≤

1

a

≤3，
∴f（x）在[1，3]上，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．
∵f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），
∴①当1≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤1时，
M（a）=f（3）=9a-5，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．
g（a）=M（a）-N（a）=9a+

1

a

-6．
②当2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a＜

1

2

时，
M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．
g（a）=M（a）-N（a）=a+

1

a

-2．
∴g（a）=

9a+ 1 a −6， 1 2 ≤a≤1 a+ 1 a −2， 1 3 ≤a＜ 1 2

．

f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=

1

a

，由

1

3

≤a≤1，知1≤

1

a

≤3，所以f（x）在[1，3]上，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．由a的符号进行分类讨论，能求出g（a）的解析式．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查函数的解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．