题目

求文档:如果对所有的整数,m n 都找到整数x y 使ax+by=m,cx+dy=n求证：|ad-bc|=1.怎么求证呢?

提问时间：2020-10-29

答案

你好!

由ax+by=m（1）
cx+dy=n（2）
方程组连立,可解得
x=(md-nb)/(ad-bc)
y=(an-cm)/(ad-bc)
由题可知,对任意整数m、n,都有x、y皆为整数.
（解述题意：“对所有的整数m、n都能找到整数x、y”的意思,就是在方程组里我任意给定一组整数m、n的值,都有相对应的x、y的整数解.）
因为m、n为任意整数,我们不妨令下列数值.
i)令m=0,n=1,则x1=(-b)/(ad-bc),y1=a/(ad-bc)
ii)令 m=1,n=0,则x2=d/(ad-bc),y2=(-c)/(ad-bc)
∵x1、y1、x2、y2为整数
∴k1= a/(ad-bc)
k2=b/(ad-bc)
k3=c/(ad-bc)
k4=d/(ad-bc)
皆为整数.（只不过是把负号去掉,力求统一,看起来方便.）
∵m、n为任意整数
∴k1、k2、k3、k4是组成x=(md-nb)/(ad-bc)与y=(an-cm)/(ad-bc)的基本单位,即k1、k2、k3、k4通过线性运算(加减法与m倍和n倍的乘法)就可以得到x和y.
现令t=ad-bc
则t=ad-bc=a/k1=b/k2=c/k3=d/k4
则a=tk1,b=tk2,c=tk3,d=tk4
由ad-bc=t可得
tk1·tk4–tk2·tk3=t
则t2k1k4-t2k2k3=t
则k1·k4 -k2·k3=1/t
∵k1、k2、k3、k4皆为整数,则1/t亦为整数
故1/t=1或1/t=-1
∴t=±1
∴|ad-bc|=1
得证.
希望我的回答对您有所帮助!