题目

用中值定理,证明不等式
当x>0时,e^x>e·x

提问时间：2020-10-29

答案

证明:
构造函数
f(t)=(e^t)-et.t＞0.
求导f'(t)=(e^t)-e.
[[[1]]]
当0＜x＜1时,
在区间[x,1]上,由中值定理可得
f(1)-f(x)=(1-x)f'(ξ),(ξ∈(x,1))
∵0＜x＜ξ＜1.
∴f'(ξ)=(e^ξ)-e＜0.
∴(1-x)f'(ξ)＜0
即f(1)-f(x)＜0
∴f(x)＞f(1)=0.
即当0＜x＜1时,恒有(e^x)-ex＞0
即e^x＞ex
[[[2]]]
当x=1时,显然有e^x=ex.
[[[3]]]
当x＞1时.在区间[1,x]上,由中值定理可得
f(x)-f(1)=(x-1)f'(ξ),(1＜ξ＜x)
易知,f'(ξ)=(e^ξ)-e＞0
∴(x-1)f'(ξ)＞0
∴f(x)＞f(1)=0
∴当x＞1时,恒有(e^x)-ex＞0
即e^x＞ex
综上可知,原不等式成立