题目

已知函数f（x）=x³+ax²+2（a∈R）且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0．
求：（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值．

提问时间：2020-10-28

答案

（Ⅰ）∵f'（x）=3x²+2ax，而曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0
∴f'（2）=0…（4分）
∴3×4+4a=0∴a=-3…（6分）
（Ⅱ）f（x）=x³-3x²+2，f'（x）=3x²-6x
令f'（x）=0得x₁=0，x₂=2…（9分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	↗	2	↘	-2	↗	2

…（11分）
从上表可知，最大值是2，最小值是-2．…（12分）

（I）先求导函数，然后根据曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0可得f'（2）=0，然后解方程即可；
（II）先求f'（x）=0的值，然后当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况列表，最后根据表格求出函数的最值即可．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．