题目

设F1 F2分别为椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的左右两个焦点
（1） 若椭圆C上的点A（1,3/2）到F1 F2两点距离之和为4 写出C的方程和焦点坐标
(2)设点K是（1）中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程

提问时间：2020-10-28

答案

解:
(1)由于：椭圆C上一点(1,3/2)到F1,F2两点的距离之和等于4
则由椭圆定义可知:4=2a,则：a=2
又：椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>0)
故：椭圆的标准方程可表示为：x^2/4+y^2/b^2=1
又：(1,3/2)在椭圆上
则有：1/4+9/4/(b^2)=1
解得：b^2=3
则：椭圆C的标准方程为：x^2/4+y^2/3=1
则：c^2=a^2-b^2=1;则：c=1
又：椭圆的焦点F1,F2在X轴上
则：F1(-1,0)F2(1,0)
(2)
设K(x0,y0),线段F1K的中点为P
由于：F1(-1,0)K(x0,y0)
则：P(x0/2-1/2,y0/2) (中点坐标公式)
由于：点K椭圆C上的动点
则有：x0^2/4+y0^2/3=1 -----[1]
令Xp=x0/2-1/2,Yp=y0/2
则有：x0=2Xp+1,y0=2Yp
将两式代入[1]得：
(2Xp+1)^2/4+(2Yp)^2/3=1
即：线段F1K的中点P的轨迹方程
为：(2x+1)^2/4+4y^2/3=1
解答完毕,请指教