题目

要制作一个容积为96πm³的圆柱形水池，已知池底的造价为30元/m²，池子侧面造价为20元/m²．如果不计其他费用，问如何设计，才能使建造水池的成本最低？最低成本是多少？

提问时间：2020-10-28

答案

设池底半径为r，池高为h，成本为y，则：
96π=πr²h⇒h=

96

r2

　…（2分）
y=30πr²+20×2πrh=10πr（3r+4h）=30π（r2+

128

r

） …（4分）
y'=30π（2r-

128

r2

）　　　　　　　　　…（5分）
令y'=30π（2r-

128

r2

）=0，得r=4，h=6 …（6分）
又r＜4时，y'＜0，y=30π（r2+

128

r

）是减函数；　…（7分）
r＞4时，y'＞0，y=30π（r2+

128

r

）是增函数；　…（8分）
所以r=4时，y=30π（r2+

128

r

）的值最小，最小值为1440π…（9分）
答：当池底半径为4米，桶高为6米时，成本最低，最低成本为1440π元．…（10分）

此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底半径为r，池高为h，成本为y，建立函数关系式，然后利用导数研究函数的最值即可求出所求．

本题考点：根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题考查建立数学模型的能力及利用导数研究函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．